Producte escalar de vectors en el pla

Unitat didàctica amb applets Cinderella

En aquesta pràctica s’exposa un exemple d’ús didàctic d’un recurs ubicat a Internet per treballar a l’aula d’informàtica el producte escalar de dos vectors del pla. Aquesta pràctica és adient per al professorat de batxillerat.

El recurs amb què treballareu s’anomena Activitats sobre vectors en el pla, el seu autor és Jaume Bartrolí Brugués i està disponible a l’adreça: http://www.xtec.net/~jbartrol/vectors/index.htm.

Desenvolupament de la pràctica

1) Exploració de les Activitats sobre vectors en el pla

Entreu a la pàgina web citada, observeu que es compon de cinc unitats didàctiques, de les quals el producte escalar, és l’última, i que hi ha un manual de l’aplicació.

Menú inicial de les Activitats sobre vectors en el pla

Al manual de l’aplicació trobareu una descripció de l’aplicació, guies tant per al professorat com per a l’alumnat, i activitats d’avaluació. Un petit resum del manual és:

  • Activitats sobre vectors en el pla és un recurs educatiu de 50 activitats estructurades en 5 unitats didàctiques, organitzades en forma de conjunt de pàgines web i que pot ser utilitzat tant en línia (connectat a Internet) com en forma local (sense connexió).
  • És un material pont entre l’ESO i el batxillerat, ja que, en part, és utilitzable a 4t curs d’ESO (per exemple, en un crèdit o itinerari per als alumnes amb intencions de cursar un batxillerat científicotecnològic), i tot el material es pot fer servir al propi batxillerat científicotecnològic (aleshores les primeres unitats didàctiques constituiran un repàs).
  • L’objectiu respectiu de cada unitat didàctica és:
    1. Treballar amb vectors donats gràficament (fletxes).
    2. Treballar amb vectors utilitzant coordenades i components.
    3. Treballar amb mòduls i arguments (vectors en forma polar).
    4. Aplicar els vectors per resoldre problemes de geometria plana.
    5. Introduir el producte escalar de dos vectors i fer-ne algunes aplicacions.
  • Cada unitat té 10 activitats i cada activitat, la mateixa estructura: una petita explicació, una activitat interactiva i una proposta de treball.

Exploreu el conjunt d’activitats i consulteu el manual per completar el coneixement d’aquest recurs.

2) Estructura de cadascuna de les activitats

Cada activitat consta de tres parts:

  • Una petita explicació (1 a la figura).

En ella s’introdueixen conceptes i/o s’expliquen determinats procediments (d’una forma resumida).

  • Una activitat interactiva (2).

Aquestes activitats interactives inclouen un applet fet amb el programari de geometria interactiva Cinderella.

  • Una proposta de treball (3).

Són treballs de consolidació dels conceptes/procediments adquirits en l’activitat.

Definició de producte escalar de dos vectors

Els alumnes han de:

  • Llegir amb atenció les explicacions (1).
  • Fer les activitats interactives (2).\\ Generalment, la realització de l’activitat exigeix polsar amb el botó esquerre del ratolí sobre certs punts (punts verds), desplaçar-los mantenint el botó polsat i obtenir determinats resultats.
    S’ha de defugir exigir excessiu perfeccionisme als resultats. Per exemple, si en comprovar una determinada propietat, l’alumne/a no encerta a posar el punt exactament al lloc on correspon, però fa una construcció que de forma aproximada mostra que la propietat es verifica, s’haurà de donar per feta la comprovació.
    Totes les activitats interactives van acompanyades d’un enllaç (4) que dóna la solució corresponent. El professor/a ha de controlar que els alumnes facin les activitats interactives, que no es limitin a consultar els resultats ni es precipitin a veure’ls.
  • Fer les propostes de treball (3).
    Ho poden fer a la seva llibreta o quadern de treball, o bé utilitzant documentsplantilla Word (5) preparats per fer la proposta de treball corresponent, i que es poden imprimir.
    Aquesta feina la poden fer a classe o a casa, però s’aconsella que la comencin a fer a classe i l’acabin a casa si no l’han poguda acabar a classe (són el que sempre s’han anomenat deures).

3) La unitat 5: Producte escalar de dos vectors

Si ens centrem ara en aquesta unitat, tenim que els seus objectius són:

  1. Fer el producte escalar de dos vectors geomètricament. A l’activitat 5.1 s’introdueix el producte escalar com a producte dels seus mòduls pel cosinus de l’angle que formen.
  2. Interpretar geomètricament el producte escalar. A l’activitat 5.2 s’interpreta com el producte del mòdul d’un d’ells per a la projecció de l’altre sobre ell.
  3. Estudiar les propietats commutativa, associativa respecte dels escalars, i distributiva del producte escalar, cosa que es fa a les activitats 5.3 i 5.4.
  4. Fer el producte escalar de vectors treballant amb components. A l’activitat 5.5 s’obté la fórmula ·= (a1,a2)·(b1,b2) = a1b1+ a2b2.
  5. Identificar vectors perpendiculars i verificar condicions de perpendicularitat de vectors. A l’activitat 5.6 es defineixen, de forma raonada, vectors perpendiculars com a vectors amb producte escalar zero.
  6. Obtenir el cosinus de l’angle que formen dos vectors i l’angle que formen dos vectors, cosa que es fa a l’activitat 5.7.
  7. Projectar un vector sobre un altre, operació que es treballa fa a l’activitat 5.8.
  8. Aplicar el producte escalar per demostrar alguns teoremes clàssics de geometria plana, cosa que es fa a les activitats 5.9 (un teorema molt conegut i atribuït a Tales) i 5.10 (el teorema de Pitàgoras).
Programació de l’activitat
  • Requeriments de maquinari i de programari: Necessitareu un ordinador per a cada un o dos alumnes, amb connexió a Internet i amb un navegador amb l’intèrpret Java instal·lat.
    Per a la realització de les activitats interactives que es proposen és imprescindible disposar d’un ratolí que funcioni correctament i qualsevol problema amb el ratolí, brutícia, mala configuració, etc., dificultarà la realització d’aquestes activitats, obtenir el resultat desitjat o treballar amb la precisió desitjable.
  • Metodologia: Si els alumnes no estan familiaritzats amb l’entorn d’aquestes activitats, caldrà dedicar un cert temps a explicar-ne el seu funcionament. Si disposeu de projector a l’aula, podeu fer-lo servir.
    A partir del moment en que observeu que els alumnes són autosuficients, els deixareu treballar. Passareu d’ordinador en ordinador per resoldre dubtes i comprovar com van progressant. Si detecteu que una activitat té alguna dificultat especial, fareu una explicació per a tota la classe aprofitant el projector, si és el cas.
    En finalitzar l’activitat interactiva de cada activitat, cada alumne/a farà individualment la proposta de treball corresponent i la lliurarà al professor/a.
    Un cop cada alumne/a o parella d’alumnes hagin fet les 10 activitats, els passareu individualment l’enunciat d’una activitat d’avaluació que hauran de fer amb llapis i paper.
  • Material per a l’alumnat: Els alumnes han de portar estris elementals de dibuix per fer les propostes de treball de cada activitat. N’hi ha prou amb llapis, goma, regle graduat i escaire o cartabó.
    També han de disposar d’una calculadora científica (o d’algun programa a l’ordinador que els permeti treballar amb funcions trigonomètriques i trigonomètriques inverses).
    Si bé a cada activitat hi ha preparat un document per fer la proposta i cada alumne/a se’l pot imprimir, és aconsellable donar a tots els alumnes aquests fulls ja impresos, és a dir, és millor que el professor/a imprimeixi tots els documents act51_pt.doc, act52_pt.doc …, faci les fotocòpies corresponents (és més econòmic fotocopiar que imprimir) i les reparteixi als alumnes. L’opció que un alumne/a se l’imprimeixi només s’ha de deixar per a casos excepcionals (pèrdua del document, repetició d’algun exercici…).
  • Preparació d’una graella per recollir l’avaluació de les propostes de treball: Es tracta de preparar una taula o un full de càlcul similar a graella3.pdf on anar anotant, alumne/a per alumne/a, l’avaluació de les 10 propostes de treball.
  • Preparació d’una activitat d’avaluació aprofitant les que hi ha al manual: Com s’ha dit, al manual de l’aplicació hi ha cinc activitats d’avaluació sobre el producte escalar. Es tracta de crear un document nou i, utilitzant la tècnica de selecciona, copia i enganxa, fer un document semblant a pescalar.pdf.
  • Temporització: Es poden fer 3 o 4 activitats per sessió de classe depenent de les característiques del grup classe i de la dificultat de l’activitat. S’ha de comptar el temps necessari per fer una introducció al tema, més extensa si els alumnes no estan familiaritzats amb aquest entorn de treball. També s’ha de incloure temps perquè els alumnes facin amb llapis i paper les propostes treball i l’activitat d’avaluació. En resum, es pot estimar en tres sessions classe el temps necessari per dur a terme tota aquesta proposta.

Les Activitats sobre vectors en el pla estan actualment disponibles en català a http://www.xtec.net/~jbartrol/vectors/index.htm i en castellà a http://www.xtec.net/~jbartrol/vectores/index.html. Des de la mateixa web de l’autor, http://www.xtec.net/~jbartrol/, es poden descarregar las activitats per fer-ne una utilització local.

Informació complementària

Altres enllaços amb recursos relatius a vectors

Informació sobre l’entorn Cinderella.

Tal com s’ha dit, les activitats interactives de les pàgines web amb què heu treballat inclouen un applet fet amb el programari de geometria interactiva Cinderella. La pàgina web oficial d’aquest programari és http://www.cinderella.de/en/home/index.html; no és un programa gratuït, però a la secció Download d’aquesta web hi ha disponible una versió de prova:

Pàgina web oficial de Cinderella

Les activitats fetes amb Cinderella sí que són gratuïtes. Si a un cercador de pàgines web, per exemple Google, escriviu “Cinderella” i cerqueu, trobareu moltes d’aquestes activitats.

Tornar al principi del document