D112. Mòdul 5. Pràctica 6. La calculadora WIRIS com a recurs didàctic

Mòdul 5

La calculadora Wiris com a recurs didàctic

Pràctica

Exercicis

	Interseccions de figures

	En aquesta pràctica veurem a fons els elements de treball fonamentals per gestionar les interseccions de figures amb la Wiris, veurem una activitat amb resposta interactiva que dóna la posició relativa recta-circumferència i veurem com es poden resoldre problemes amb la Wiris, amb dos exemples fets i explicats, i finalment, podreu aplicar el que heu après en aquest mòdul per resoldre el problema de l'exercici 6.

	Escriptura i sintaxi de la comanda Intersecció

	Convé indicar, en primer lloc, alguns aspectes fonamentals: La intersecció de dues figures té el caràcter de llista de punts (conjunt). La sintaxi de la comanda per obtenir la intersecció té dues possibilitats: Amb la icona de la carpeta Geometria (escriu amb una sintaxi que també podeu entrar pel teclat): Amb la icona de la carpera Símbols (escriu un símbol que no podeu entrar pel teclat): Les figures a què es pot aplicar aquesta comanda són els objectes geomètrics construïts amb les comandes de la Wiris (rectes, segments, polígons, circumferències, arcs, còniques, etc.) però, en canvi, no es pot aplicar a gràfiques de funcions, ni tampoc a conjunts de punts. No es pot fer la intersecció de més de dues figures a la vegada (no es pot verificar la propietat associativa).

	Posició relativa recta-circumferència

	Una manera de determinar la posició relativa recta-circumferència és calcular els punts de tall i comptar quants n'hi ha. En aquesta imatge podeu veure com la comanda intersecció ens dóna els punts de tall en forma de llista, de manera que per guardar cada punt de tall individual, hem de fer servir subíndex (Control + Fletxa avall). Només tenim un petit inconvenient: quan la recta és tangent, el punt de tall és doble, i la llista també té dos elements, però repetits. Per poder distingir bé aquest cas, fem servir la comanda conjunt per eliminar repeticions.


	Amb les comandes anteriors, la Wiris no distingia les posicions secant i tangent. Modificant els punts inicials, podem veure què passa quan la recta és tangent a la circumferència i solucionem el problema introduint la comanda conjunt perquè n valgui 1 quan són tangents:


	Abans d'obrir la finestra activa amb la solució (cosa que fareu clicant a la icona de l'esquerra), podeu intentar fer l'activitat sense més ajuda que la imatge que us mostrem seguidament. L'objectiu és aconseguir un tauler gràfic que respongui donant la posició relativa de la recta i la circumferència. Podem escollir la posició dels punts A, B, C i D i la circumferència i la recta s'actualitzen: la circumferència té centre en C i passa per D i la recta passa per A i B.


	Imatge d'un tauler gràfic que respon interactivament donant la posició relativa recta-circumferència

	Resolució de problemes amb la Wiris

	La Wiris és una eina important per fer conjectures i resoldre problemes. Vegem un exemple d'aplicació de les comandes estudiades en aquest mòdul per a la resolució de dos problemes geomètrics:

	Problema 1: construcció d'un estel ABCD que tingui per vèrtexs consecutius tres punts donats A, B i C

	La figura amb què tot seguit treballarem es defineix així: Un estel és un quadrilàter que té dos costats consecutius iguals i els altres dos també. És fàcil demostrar una propietat que també caracteritza aquest tipus de quadrilàters: Un estel és un quadrilàter simètric respecte d'una diagonal. Veurem la resolució del problema enfocada des d'aquests dos punts de vista i per altra banda també comentarem dues ampliacions del problema. En algunes ocasions s'exigeix que un estel sigui un quadrilàter convex. Com podríem comprovar aquesta condició? En quines condicions, donats tres punts, poden ser vèrtexs d'un estel convex (no cal que siguin consecutius)?


	ABCD és un estel. Com l'hem construït a partir de A, B i C?

	A partir de la definició inicial, per trobar el punt D cal fer una circumferència de centre A i radi AB i una altra circumferència de centre C i radi CB. La intersecció d'aquestes dues circumferències són els dos punts B i D. És molt interessant que intenteu escriure les comandes adequades de la Wiris a partir d'aquestes indicacions i, naturalment, que les completeu amb els comandes per dibuixar el gràfic de manera que sigui interactiu i que si movem els punts A, B o C es trobi la posició de D. La imatge següent mostra la línia fonamental de treball que cal seguir. Fixeu-vos que això mateix seria el que haurien de fer els nostres alumnes i les nostres alumnes de batxillerat en les classes de geometria analítica... però sovint omplirien un full amb moltes equacions sense cap explicació. La Wiris ja fa els càlculs (i, de fet, fa geometria analítica) i llavors, sobretot, ens cal (i també els caldria als nostres alumnes) explicar el procediment i fer geometria. Si voleu confrontar el vostre procediment amb el que us proposem tot seguit, endavant! Potser a l'hora de fer-lo heu tingut algun problema amb la intersecció i la tria del punt que ha de ser D. Recordeu que I és una llista; per tant, el punt D no és I sinó un dels punts de I. Una solució "pedestre" és posar I₂ i si no va bé amb I₂ ho canviem i posem I1. Però si obriu la finestra activa constatareu que hi ha una comprovació subtil de quin punt de la intersecció de les dues circumferències ens interessa prendre com a D. Recordeu que de moment no s'imposa que l'estel sigui convex.



	Ara bé, si en lloc de partir de la definició inicial volem fer servir la propietat característica, el procediment també serà senzill. D serà, simplement el punt simètric de B respecte a la recta AC. Escriviu les comandes a partir d'aquestes indicacions i completeu el dibuix. Segur que haureu trobat l'estel ABCD a partir de A, B i C (que seran, doncs, vèrtexs consecutius de l'estel). Com abans, us proposem tot seguit una solució (de la qual veieu la imatge de les línies principals), encara sense la comprovació que el quadrilàter sigui convex.



	Hem dit que la primera ampliació a aquest problema que hem plantejat seria la d'imposar que ABCD sigui un quadrilàter convex. La comentem tot seguit. Recordeu que estem construint un estel ABCD del qual coneixem tres vèrtexs consecutius. Només que penseu una mica, veureu que si pot fallar que ABCD sigui convex, només pot passar en el vèrtex C o en el vèrtex A, no en el B. Us proposem solventar el problema donant un avís en cas que no ho sigui. I això ho podeu fer afegint les línies següents (i una altra que faci escriure el missatge, és clar!) a la finestra de Wiris on heu escrit la solució a la construcció geomètrica de l'estel.



	Ara bé, el tema d'ampliació més subtil apareix si es vol plantejar el problema d'una manera més general i estudiar en quines condicions, donats tres punts, poden ser vèrtexs d'un estel convex (no cal que siguin consecutius). Si us interessa el tema, cliqueu a la icona de l'esquerra i obrireu una finestra on trobareu un estudi complet i explicat amb tot detall.


	Problema 2: donades tres rectes paral·leles, construïu un triangle equilàter de manera que tingui un vèrtex sobre cada una de les rectes

	En el problema anterior, era relativament senzill veure com havíem de fer la construcció directament, sabent la definició de quadrilàter estel. Ara ens trobem amb un problema una mica més complex, i per comprendre com l'hem de resoldre, podem fer una primera construcció exploratòria que ens ajudi a entendre la situació.


	Construcció geomètrica interactiva per explorar el problema

	Cliqueu a la icona de l'esquerra per experimentar la situació de les paral·leles i els dos triangles equilàters del dibuix anterior. Observeu que per començar hem rebaixat l'exigència del problema, dibuixant triangles equilàters que tenen només dos vèrtexs sobre paral·leles diferents. Les prestacions de la Wiris ens permeten així buscar empíricament la solució o les solucions del problema i després observar les propietats de la/les solucions per esbrinar com hem de construir la solució del problema.

	Definim la primera recta, amb un punt P que es mogui sobre ella, amb l'ajut d'un punt auxiliar P1, que no dibuixarem pas:

	Definim les rectes segona i tercera, paral·leles a la primera, passant per uns punts P2 i P3 que dibuixarem per poder moure les paral·leles. Definim també uns punts A i B que obliguem a moure's sobre les paral·leles:

	Definim els triangles equilàters sobre els costats PA i PB. Aquests triangles tindran només dos vèrtexs sobre paral·leles diferents, però podrem moure'ls per aconseguir que els tres estiguin un sobre cada paral·lela i aleshores observarem la relació que guarden els elements del dibuix quan són solució del problema, i així veurem com hem de fer la construcció de la/les solucions:

	Finalment, establim les propietats del tauler i dibuixem els elements geomètrics amb els atributs adients:


	Solució del problema 2


	Solució interactiva al problema de construir un triangle/s equilàter/s amb un vèrtex a cada una de tres rectes paral·leles donades

	Un cop vist el problema, només canviant dues línies de la finestra activa arribem a la solució. Es tracta de construir adequadament els punts A i B de l'activitat exploratòria per obtenir els triangles amb la propietat desitjada. Obriu la finestra activa de l'esquerra per veure'n el resultat.