En aquesta pràctica coneixereu els recursos que incorpora la calculadora Wiris per al treball amb els elements bàsics de l'àlgebra lineal: vectors i matrius. La carpeta que s'obre amb la pestanya conté les icones que faciliten el treball en aquest camp.

Com a part central de la pràctica treballarem els sistemes d'equacions lineals i veurem la possibilitat d'enfocar-ne l'estudi des d'un punt de vista matricial.

En particular s'explicarà la sintaxi adequada perquè, en cas d'indeterminació, s'expressin unes variables en funció d'unes altres que es prenen com a variables lliures i es repassaran les idees de llistes de taules com a estructura formal de les solucions que ens dóna la Wiris.

• Un vector és un objecte de treball de la Wiris consistent en una seqüència tancada per claudàtors; tot i que els elements que formen la seqüència poden ser de qualsevol tipus, en aquesta pràctica imaginarem que són nombres o identificadors que prenen valors numèrics.

Per crear un vector ho podem fer amb la icona de la carpeta . Podem establir prèviament el nombre de components que volem que tingui el vector amb el requadre de menú que tenim al costat de l'esmentada icona, tot just a la dreta. La mida dels claudàtors s'ajustarà segons el contingut.

Alternativament podem fer-ho:

• amb les tecles [ i ]; cal separar els elements que componen el vector amb comes.
• amb la icona de la carpeta ; també en aquest cas haurem de fer servir la coma per separar components i, com amb l'altra icona, la mida dels claudàtors s'ajusta automàticament.

La calculadora Wiris incorpora totes les operacions habituals amb vectors, que s'aplicaran sempre que es compleixin les condicions perquè l'operació es pugui fer.

• Suma: +
• Resta: -
• Producte per un escalar: amb el signe ·, habitual per al producte; es pot escriure indistintament primer el vector i després l'escalar o al revés.
• Producte escalar: amb el signe de producte · o bé amb la icona de la carpeta i la sintaxi <vector,vector>. Naturalment els vectors han de ser de la mateixa longitud.
• Producte vectorial: amb la icona de la carpeta ; cal escriure vectorvector i els vectors han de ser, com és sabut per a la definició del producte vectorial, de dimensió 3.

Per als espais vectorials reals tenim també la possibilitat de calcular la norma d'un vector, amb la comanda norma o la icona de la carpeta , i d'obtenir (en radiants) l'angle que formen dos vectors: amb la comanda angle obtindrem el menor angle que formen els dos vectors (el mateix que resulta de la fórmula del producte escalar) i en canvi amb la comanda angle_orientat el resultat és l'amplitud de l'angle en sentit positiu des del primer vector indicat fins al segon.

A la finestra activa següent trobareu exemples d'aquests recursos que acabem de comentar i, a més, de l'aplicació de diversos booleans, entre ells linealment_independents? que «sap reconèixer» si treballem amb un espai vectorial sobre el cos del nombres reals o bé sobre el cos dels nombres complexos (si hi ha algun element on aparegui un d'aquests nombres). Observeu i experimenteu noves possibilitats!

La calculadora Wiris no incorpora la resolució directa d'equacions vectorials. Per aquesta raó si volem resoldre el problema d'escriure un vector com a combinació lineal d'altres (en particular si volem trobar els components d'un vector en una base) caldrà que construïm les equacions numèriques equivalents a l'equació vectorial.

• De la mateixa manera que hem vist per a les llistes, la comanda longitud ens dóna el nombre de components o dimensions d'un vector.
• Les components d'un vector V són els valors V_i amb i en 1..longitud(V). Per escriure els subíndexs es pot fer amb la icona (tant amb la de la carpeta que s'obre amb la pestanya com amb la de ) o també a través del teclat, marcant Control + Fletxa Avall per entrar en el subíndex.

Hem vist anteriorment l'exemple de tres vectors linealment dependents. En la finestra activa següent podeu estudiar, entre altres coses, com es pot obtenir la combinació lineal que dóna el tercer vector en funció dels altres dos.

• Per a la calculadora Wiris una matriu és un vector de vectors de la mateixa longitud.
• Els vectors indicats corresponen a les files de la matriu.

Aquesta idea dóna la primera manera d'introduir una matriu, com un vector de vectors; fixeu-vos que ha de ser un vector, no una llista. Tanmateix, preferiblement podem fer-ho amb la icona de la carpeta després d'haver fixat el nombre de files i columnes que ens interessen.

La imatge següent mostra dues maneres d'entrar matrius de dues files i quatre columnes i una primera operació entre elles.

Per fer operacions amb matrius i altres càlculs les instruccions són aquestes:

• Per sumar o restar matrius han de tenir les mateixes dimensions i es fan servir els signes habituals, + i -.
• Per multiplicar una matriu per un escalar es pot escriure per juxtaposició (amb l'escalar a l'esquerra de la matriu) o bé fent servir el signe ·.
• Per multiplicar matrius és imprescindible el signe · i, naturalment, que les dimensions siguin les adequades perquè el producte es pugui efectuar.
• A la carpeta d'icones que s'obre amb la pestanya trobareu:
  : dóna la matriu transposada d'una matriu
  : calcula la matriu inversa d'una matriu quadrada (o dóna missatge d'error en cas que la matriu no sigui invertible)
  : permet calcular una potència d'una matriu quadrada
  : genera la matriu identitat amb el nombre de dimensions que interessi
• Si teniu dues matrius M i N amb el mateix nombre de files, M|N retorna la matriu que resulta d'ajuntar-les en una nova matriu que té com a columnes totes les de M i totes les de N.
  

Per tal d'emprar elements definidors d'una matriu en altres càlculs tenim les opcions següents:

• dimensions(M) ens dóna una seqüencia de què el primer element és el nombre de files de la matriu M i el segon el nombre de columnes.
• La sintaxi per indicar un element individual d'una matriu M és M_i,j amb el subíndex creat de la manera habitual, per exemple amb la icona que teniu a la carpeta que ara comentem.
• Com que ja hem dit que una matriu és un vector de vectors, que són les files de la matriu, M_i ens dóna la fila i-sima de la matriu M.
• Finalment, columna(M,j) dóna la columna j-sima de la matriu M.

Per obtenir el determinant d'una matriu quadrada hi ha dues possibilitats:

• Amb la icona . Haurem d'indicar prèviament el nombre de files i columnes (que naturalment han de coincidir) i posteriorment haurem d'entrar tots els elements de la matriu.
• Si ja tenim una matriu definida mitjançant un identificador serà més convenient la icona entrant-hi com a argument la matriu.
• També podeu fer servir la comanda determinant.

Disposem també de la comanda rang(M) que, com és natural, ens dóna el rang de la matriu.

Obriu la finestra activa que correspon a la icona següent i podreu practicar molts d'aquests recursos, a més dels que ja veieu a la imatge. Convé que us adoneu que, a l'hora d'operar una matriu i un vector, encara que el vector estigui escrit horitzontalment, la Wiris l'interpreta com a vector vertical si això és el que escau.

A part d'aconsellar-vos, com sempre, que investigueu altres possibilitats pel vostre compte, us suggerim algunes variacions sobre els exemples que teniu a la finestra activa:

• Estudieu i comproveu com es pot trobar la matriu inversa d'un producte en funció de les matrius inverses dels dos factors.
• Estudieu i comproveu la fórmula del determinant d'un producte de dues matrius.
• Comproveu que el signe & permet ajuntar matrius per files ("una a sobre de l'altra"), de la mateixa manera que el signe | les ajunta per columnes ("una al costat de l'altra").

...i si ho feu, penseu a guardar la feina, perquè us pot servir per als exercicis.

Al final de la pràctica 3 del mòdul 1 hem vist com introduir les comandes per resoldre un sistema en forma d'equacions. La pràctica anterior ha estat destinada a l'estudi dels sistemes d'equacions però ha semblat interessant fer un tractament més aprofundit dels sistemes d'equacions lineals en el conext de les tècniques de l'àlgebra lineal.

Començarem observant el comportament de la Wiris amb cada un dels tres tipus de sistemes possibles, segons el nombre de solucions, i en un altre apartat ho confrontarem amb la presentació matricial.

• Recordeu que la Wiris presenta les solucions dels sistemes d'equacions en forma de taules, tal com s'ha comentat a la pràctica anterior. Si cliqueu a la icona d'ampliació veureu un exemple ben interessant tant des del punt de vista «tècnic» del funcionament de la Wiris com des del punt de vista didàctic: un exemple d'un sistema indeterminat que no ho és tant com sembla.
• En el sistema compatible indeterminat, adoneu-vos que les solucions s'escriuen prenent la variable z com a incógnita lliure (en alguns textos també es designa com a paràmetre).
  
• Per tal d'obtenir la y i la z en funció de x (és a dir, deixant lliure la x) la sintaxi és la següent:
              resol(sistema, {y,z})
  
• Podeu escriure en un nou bloc de comandes resol(  ,{y,z}) fent servir la icona dels paréntesis a fi i efecte que la mida s'ajusti al contingut i llavors copieu i enganxeu en el lloc corresponent el sistema (amb les claus que definieixen la llista incloses). Recordeu que copiar i enganxar (Control+C i Control+V) també funcionen en l'entorn de la Wiris (però només serveixen per les finestres de la Wiris, no pas per copiar i enganxar a un document de text, per exemple.)
  
• Copieu altra vegada el mateix sistema en una nova línia de comandes. Ara canvieu el terme independent 5 de la darrera equació per un -5 (o per un altre nombre). Comproveu que el nou sistema és incompatible i vegeu com ho indica el programa.
• Recordeu que podeu desar la finestra activa de Wiris, usant la icona de la pestanya .

En els exàmens que es proposen a les noies i els nois del batxillerat són «clàssics» els problemes que demanen que s'estudiï un sistema d'equacions segons el valor que prenen alguns paràmetres que hi apareixen. En realitat, doncs, no estem estudiant un sistema d'equacions sinó una família de sistemes d'equacions.

Tot seguit analitzem un exemple i fem una primera passada pel tema, que serà completat mitjançant la visió matricial dels sistemes lineals.

• Escriviu en una finestra de Wiris el sistema que teniu a la imatge següent, de tres equacions amb tres incògnites (x, y, z), que depèn, a més, d'un paràmetre a.
• Com que no hi ha una comanda semblant a estudia_segons_valors_de_a, llavors naturalment que la primera idea per a la classificació del sistema és la que teniu a la imatge: es tracta de resoldre el sistema i trobar el valor de les variables x, y, z en funció d'a.

Ara es tracta d'analitzar en quins casos aquesta solució no és vàlida.

• Es veu de seguida que per al valor a = - 2 l'expressió de la solució no és consistent. Per
  estudiar què passa amb el sistema escriviu després de les línies anteriors, en el mateix bloc de comandes,
  
  i observeu.
  
• Hem acabat? A la vista de la solució podria semblar que sí... però no és així! Si mireu amb atenció el sistema veureu de seguida que per a = 1 apareix tres vegades la mateixa equació. Per què, doncs, no es detecta aquesta «anomalia» en l'expressió de la solució? Perquè la Wiris dóna l'expressió simbòlica simplificada: efectivament ha simplificat en tots els numeradors i en tots els denominadors un factor (a - 1). Afegiu encara a la pantalla on treballeu, en el mateix bloc de comandes on teniu definit el sistema
  
  i veureu la solució corresponent a aquest cas indeterminat.

Sembla que ha de ser possible sistematitzar aquest estudi. És ben cert i ho farem amb els recursos que s'estudien a l'apartat següent.

Un sistema d'equacions lineals es pot escriure en forma matricial: com A·X^T=B^T on A és la matriu del sistema, X és el vector de les incògnites i B és el vector de termes independents.

La comanda resol de la calculadora Wiris admet com a arguments la matriu d'un sistema d'equacions lineals i el vector de termes independents i, com podeu observar si obriu la finestra activa següent:

• Si el sistema és compatible determinat ens dóna un vector que representa la solució.
• Si el sistema és compatible indeterminat ens dóna una matriu i un vector. Les columnes de la matriu constitueixen una base de l'espai de solucions del sistema homogeni associat al sistema donat. El vector representa una solució particular.
• Si el sistema és incompatible es retona l'expressió nul.
  

En acabar l'apartat anterior dèiem que amb nous recursos seria possible sistematitzar l'estudi dels sistemes amb paràmetres. És clar que el recurs fonamental és el càlcul del determinant de la matriu del sistema.

En la finestra activa següent podeu veure una manera de fer-ho; en primer lloc es resol el sistema per al cas general. Tot seguit es calcula el determinant i, igualant-lo a 0, això permet conèixer tots els casos especials d'indeterminació o incompatibilitat i afegir les línies adequades per estudiar el sistema en aquests casos.

També podreu analitzar un segon tipus d'exemple més difícil de sistematitzar: un sistema de més equacions que incògnites.