A Internet hi ha molta informació sobre fractals i eines per obtenir-ne representacions, en català i altres idiomes. Però en la nostra llengua es fa difícil trobar alguna web directament utilitzable a l'aula amb alumnes d'ESO.

Per això, en aquesta pràctica hem decidit treballar amb els continguts d'una web en anglès, didàcticament bona i de bon entendre malgrat l'idioma. Veureu com la introducció dels fractals motiva el treball amb perímetres, àrees, fraccions i potències d'una manera ben poc convencional i també convida a introduir qüestions d'història de les matemàtiques, sobre la investigació matemàtica i la utilitat pràctica de les matemàtiques.

Aquesta mateixa web pot servir d'introducció als fractals per a alumnes de batxillerat interessats a fer un treball de recerca sobre aquest tema.

A la mateixa pàgina d'entrada trobareu, sota la portada, la introducció de la unitat didàctica i, a la columna de l'esquerra, amb el fons de color groc, podeu veure el menú de continguts que serveix també de mapa de la web. A la imatge següent teniu una traducció d'aquest menú.

Aquestes lliçons, escrites seguint els Estàndards del NCTM, utilitzen la geometria fractal per introduir els alumnes en la recerca matemàtica moderna i reforçar les competències escolars en aritmètica i geometria.

Nivell: de sisè de primària a quart d'ESO

Continguts curriculars: pautes, ordenació de fraccions, àrees, perímetres, semblances, mesures i potències.

Metodologia: els alumnes treballaran les propietats dels fractals utilitzant recursos en línia. Les lliçons estan dissenyades perquè els alumnes treballin independentment o amb l'ajuda del professor o professora.

Connexions:

• Relaciona les matemàtiques amb l'art, l'escriptura, la història i les professions.
• Relaciona l'aritmètica i la geometria.

Material necessari: Un ordinador amb connexió a Internet i capacitats gràfiques (Java activat), també és d'utilitat disposar de paper amb un engraellat triangular i una suro on penjar dibuixos i treballs. Cada lliçó té una versió sense enllaços que es pot imprimir per utilitzar a classe.

Recomanacions i suggeriments: la majoria de seccions inclouen preguntes per als alumnes. Després de cada lliçó es pot encomanar als alumnes un miniprojecte de recerca. Els alumnes podrien completar un dossier en línia que inclogués exemples d'altres fractals, un resum del que han après, la bibliografia d'un matemàtic o matemàtica que faci recerca sobre fractals, etc. Assegureu-vos que els alumnes incloguin les referències de les adreces i bibliografia que han fet servir.

Recomanació de recurs per al professorat:
Una lliçó molt bona sobre caos i fractals de Robert Devaney's: Chaos in the Classroom (en anglès).

Donat el seu caràcter, aquesta lliçó es podria treballar interdisciplinàriament amb l'àrea de llengua anglesa, o bé podríeu fer una recerca per Internet intentant trobar informació equivalent en català. Per exemple, els elements d'Euclides estan traduïts al català a Internet. Per aprofitar millor la classe, seria convenient fer la recerca pel vostre compte i presentar als alumnes les adreces que voleu que consultin. Algunes d'aquestes adreces catalanes les trobareu referenciades al final d'aquesta pràctica.

Imprimiu-vos el paper engraellat triangular per fer els dibuixos amb comoditat.

Els alumnes poden veure les successives iteracions i comparar amb els seus dibuixos. El funcionament de l'applet és ben senzill i no necessita explicació. Aquí teniu una imatge i l'adreça web.

El perímetre és una característica molt interessant del floc de neu de Koch. Normalment en augmentar el perímetre d'una figura geomètrica, també augmenta la seva àrea. Si teniu un quadrat amb un perímetre gran, la seva àrea també és gran. Però espereu a veure què passa aquí!

Recordeu el procediment per obtenir les successives figures:

1. Dividiu un dels costats del polígon en tres parts iguals i esborreu la part del mig.
2. Substituïu la part esborrada per dos segments d'igual longitud que el que heu esborrat formant un angle de 60 graus a la part exterior del polígon.
3. Repetiu això mateix sobre cada un dels costats del polígon.

Investiguem el perímetre tot seguit.

Primera qüestió: si el perímetre del triangle equilàter inicial és de 9 unitats, quin és el perímetre de les tres figures següents? Expresseu el resultat en forma de fracció de 9.

Indicació: (podeu dir-ho als alumnes o conduir-los perquè ho descobreixin ells mateixos) imagineu que la figura inicial té cada costat format per tres parts iguals i noteu que a la figura següent se substitueixen aquestes tres parts iguals per quatre parts iguals a les anteriors.

Segona qüestió: veieu alguna pauta en la variació dels perímetres? El perímetre de cada figura és ___ vegades el perímetre de la figura anterior.

Tercera qüestió: si el perímetre del triangle inicial és de 9 unitats, quantes iteracions calen per obtenir un perímetre de 100 unitats? (o tan proper a 100 com sigui possible). Utilitzeu la calculadora.

Quarta qüestió: imagineu que repetiu el procés moltes i moltes vegades. El perímetre no para de créixer! Però també creix l'àrea?

Indicació per al professorat (podeu dir-ho als alumnes o conduir-los perquè ho descobreixin ells mateixos): l'àrea està tancada dins el cercle circumscrit al triangle inicial. Si seguíssiu el procés, permeteu-me dir-ho, infinites vegades, la figura tindria un perímetre infinit, però la seva àrea seria menor que l'àrea del cercle circumscrit.

Un perímetre infinit tanca una àrea finita. És fascinant!

Podeu fer servir els triangles de la graella triangular per mesurar l'àrea. El triangle original de color groc conté 81 triangles petits. Quina és l'àrea de cada triangle vermell i de cada triangle blau? Organitzeu les dades en una taula.

.  Requeriments de maquinari i de programari:
Per dur a terme l'activitat necessiteu un ordinador connectat a Internet per a cada dos o tres alumnes, un navegador d'Internet amb Java activat, un processador de textos i un full de càlcul.

. Metodologia:
Per fer les activitats d'aquesta unitat didàctica es pot combinar el treball a l'aula d'informàtica amb el treball amb paper i llapis. Traduïu les lliçons que voleu treballar i elaboreu-ne, per cada una, un document imprimible amb instruccions breus i suficients per provocar la recerca, la reflexió i la descoberta per part dels alumnes. És recomanable el treball en grup per discutir conceptes i per elaborar les conclusions de cada lliçó.

. Material per a l'alumnat:
Fotocòpies amb instruccions breus i adreces d'Internet concretes per a cada sessió de treball. Fotocòpies de l'engraellat triangular. Paper i llapis per als resums i càlculs dels alumnes.

. Avaluació:
En acabar cada lliçó els alumnes hauran de lliurar, per grups, el document de treball, que serà un element avaluador bàsic, juntament amb les actituds demostrades per cada alumne/a durant les sessions.

. Temporització
És bastant difícil definir una temporització exacta. Caldrà estar ben atents a les característiques del grup i dinamitzar el ritme quan convingui. Cada lliçó es pot completar en una o dues hores de classe i, si es proposa de fer un petit treball sobre allò que s'ha après, farà falta encara una altra hora de classe per posar els resultats en comú.

Títol: Área fractal
Autor: Sysifus
Idioma: castellà
Indicació: informació molt bona i imatges estàtiques i animades de fractals
Adreça web: http://www.arrakis.es/~sysifus/index.html

Títol: Fractales.org
Autor: Jl Andrés
Idioma: castellà
Indicació: articles sobre fractals, caos i ciència
Adreça web: http://www.fractales.org/index.php

Titol: Objetos fractales
Idioma: castellà
Indicació: introducció als fractals per a treballs de recerca de batxillerat
Adreça web: portal edu365.cat - secció "com soc"