L'objectiu d'aquesta pràctica és, com el de totes les d'aquest mòdul, donar idees.

• Donar la idea que la Wiris pot abastar des d'un punt de vista didàctic tots els continguts de les matemàtiques de les etapes d'educació secundària, centrant-nos en aquesta pràctica en el món de la probabilitat.
• Donar-vos idees per al projecte i desenvolupament del treball de fi de curs, no tant pel que fa al contingut curricular, sinó des del punt de vista dels recursos a l'abast per muntar les activitats. En aquest aspecte, torna a ser fonamental l'ús de les llistes.

Per a la introducció didàctica del concepte de probabilitat és fonamental poder fer simulacions.

A partir de les simulacions, constatarem el fet que si es fan moltes repeticions d'una experiència aleatòria, la freqüència relativa del nombre d'èxits d'un esdeveniment tendeix a estabilitzar-se entorn a un valor fix: la probabilitat de l'esdeveniment. Aquesta és la llei empírica de l'atzar i, com a empírica que és, només la podrem comprovar amb l'experimentació.

Veurem tot seguit que la Wiris també ens pot ajudar en aquesta tasca.

És clar que per fer simulacions ens cal una taula de nombres aleatoris... o la possibilitat de generar-los amb l'ordinador. Aquest és el cas.

Amb la calculadora Wiris tenim diverses possibilitats de generació de nombres aleatoris seguint una distribució uniforme. La funció aleatori és un nou exemple de funció que, segons els arguments, retorna una resposta o una altra.

• En aquesta pràctica, fem servir aleatori(n) on n és un nombre natural. Aquesta funció ens retorna un nombre aleatori del recorregut 0..n-1.
• També es pot fer aleatori(m..n)on m i n són nombres enters i la resposta serà un nombre aleatori del recorregut m..n. Podeu observar que 1 + aleatori(n) (opció que s'ha seguit en la pràctica) és equivalent a aleatori(1..n).
• En altres ocasions pot interessar obtenir un nombre aleatori corresponent a una variable contínua. Això també és possible amb la comanda aleatori. Podeu consultar l'índex alfabètic de l'ajuda de la Wiris per veure'n els detalls.

Les primeres línies del codi de l'activitat didàctica que ara podreu analitzar servirien, per elles soles (tot i que després no tenen incidència directa en la llei empírica de l'atzar), per constatar quina és la influència de l'atzar en els resultats d'una experiència aleatòria.

• En la primera línia es generen 200 nombres aleatoris del conjunt {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hem simulat, doncs, 200 tirades d'un "dau perfecte".
• En la segona línia la comanda compta_element ens permet elaborar la taula de freqüències dels resultats que s'han observat.
• Com que el resultat de compta_element (un divisor) s'ha assignat a una variable, en la tercera línia veiem com es pot fer per obtenir el recompte del nombre de sisos que han sortit.
• Si obriu la Wiris , escriviu les tres línies que s'han comentat i repetiu diverses vegades el càlcul, veureu les diferències que s'observen d'una vegada a l'altra.
• Per fer visual la llei empírica de l'atzar, haurem de repetir un procediment com el que acabem de comentar, però no per al total de tirades, sinó per cada nombre de tirades, i observar què passa quan aquest nombre de tirades va augmentant.

Com en altres ocasions, ara us proposem primer de tot que feu l'activitat i després ja n'analitzraem el codi. Cliqueu a la icona de la fletxa que teniu a continuació i repetiu l'experimentació per veure novament les diferències d'una simulació a una altra.

• Recordeu que per repetir l'activitat no cal que tanqueu el tauler on s'ha mostrat el gràfic (però segurament és més clar fer-ho); heu de posar el cursor en una de les línies que tenen el codi de l'activitat i fer clic a la icona de la fletxa (o també Control + Retorn).

Vegem el codi que ha permès fer l'activitat anterior.

Ja hem comentat que les primeres línies generen 200 tirades d'un dau i compten quants sisos han sortit. Però no ens interessa veure-ho en el total de les 200 tirades, sinó per cada nombre de tirades de l'1 al 200. Per això es construeix una llista Frel que en el lloc i hi té la freqüència relativa del nombre de sisos que han sortit en les i primeres tirades.

• Aquesta llista Frel es mostra en pantalla, tot i que no seria, en absolut, necessari, però és un complement a la visualització gràfica. Si els nois i les noies confronten la llista LL amb els resultats de les tirades del dau amb la llista Frel amb les freqüències relatives del nombre de sisos, ben segur que això serà un ajut per entendre què estem calculant.
  

Ara ja només falta fer el dibuix; es comença per definir el tauler:

• No es canvia la mida de la finestra: serà de 450 x 450, com és habitual.
• S'estableix que l'eix de les x abasti una graduació de 210 unitats (de l'1 al 200, que és l'interval que ens inetressa per fer el gràfic i una mica més). Semblantment amb l'eix de les y: els valors observats varien de 0 a 1, es dóna una mica de marge.
• Es defineix el centre del tauler perquè el gràfic quedi situat com ja heu vist en l'exercitació de l'activitat.

Ben segur que ja no teniu cap problema en la intepretació de les ordres finals:

Es construeix la llista graf de punts que volem dibuixar. Fixeu-vos que, com que Frel és una llista, Frel_i és l'element de lloc i en aquesta llista. No seria vàlida la notació Frel(i) com si treballéssim amb una funció.

Tot seguit, es dibuixa la gràfica i també es dibuixa la recta que mostra l'estabilització de la Frel entorn del valor de la probabilitat (o no la mostra en alguna simulació, tot depèn de l'atzar!).

Aquest darrer comentari i totes les observacions de les grans diferències que veieu d'una simulació a una altra porten, naturalment, a dir que 200 tirades són molt poques per constatar la llei empírica de l'atzar.

Què caldria fer per augmentar el nombre de tirades a 500, posem per cas? A banda de modificar les dimensions de la pantalla (cosa que si us interessa podeu llegir com es fa en l'enllaç anterior a un tema d'ampliació, la icona de la lupa), hauríeu de canviar les línies següents:

• En la primera línia, en la que diu per j en... i en la que defineix graf podeu posar 1..500 en lloc de 1..200.
• El tauler el podeu definir així: tauler(punt(245, 0.5), 520, 1.1).

Feu aquestes modificacions i altres proves i, si us interessa el tema, podeu trobar una proposta d'exercici voluntari... o potser la gènesi d'un projecte per al treball final!

Si engegueu l'activitat següent de la manera habitual, podreu fer algunes reflexions de caràcter didàctic sobre la distribució normal a partir d'una gràfica inicial, que és justament la de la funció de densitat de probabilitat de la distribució normal estàndard.

• Tal com s'indica a la imatge, si moveu els punts negres que determinen un segment a la part inferior del tauler gràfic, podreu variar la mitjana (indicada per l'eix de simetria, recta de color verd) i la desviació estàndard de la distribució, i la gràfica s'actualitzarà.
• Si moveu els dos punts vermells que teniu sobre l'eix de les x, canviareu l'interval de què es calcula la probabilitat. Ja sabeu que aquesta probabilitat és l'àrea de la zona acolorida de color vermell.

Experimenteu-hi!

Us recordem que podeu ampliar manualment la part visible de la finestra. Pot ser interessant que en aquest cas ho feu amb l'eix horitzontal per a algunes de les activitats que us aconsellem:

• Comparació de gràfiques amb la mateixa mitjana i diferents desviacions estàndards.
• Comparació de gràfiques amb la mateixa desviació estàndard i diferents mitjanes.
• Amb la gràfica de la normal estàndard: visualització de la probabilitat dels intervals [-1, 1], [-2, 2] i [-3, 3] que s'acostumen a considerar característics de la distribució normal.
• Idea de l'estandardització: vegeu que la probabilitat de l'interval [0,5; 1,5] amb la distribució normal estàndard és la mateixa que la probabilitat de l'interval [1,5; 3,5] en la distribució normal que té mitjana 0,5 i desviació estàndard 2. Els valors 1,5 i 3,5 són, en aquest cas, els que disten de la mitjana, respectivament 0,5 i 1,5 desviacions estàndards. Per això es corresponen amb els valors 0,5 i 1,5 de la normal estàndard.

A continuació, es comenten alguns aspectes del codi amb què s'ha preparat l'activitat. El podreu consultar fàcilment si engegueu i tanqueu el tauler gràfic.

• La funció que defineix la densitat de probabilitat de la distribució normal és:
  
  
• Les primeres línies del codi es destinen a definir la interactuació que es pot fer per definir els valors de la mitjana i la desviació estàndard, juntament amb la recta que serà l'eix de simetria de la corba.
  
  
• Hem posat expressament una línia per comentar "que no fa el que sembla". Segur que quan heu estat fent experimentacions i heu variat els paràmetres definidors de la distribució normal, heu pensat en la possibilitat que el centre del tauler s'actualitzés. Això no és possible, perquè el tauler només es defineix la primera vegada que es processa la comanda tauler. Així, doncs, com que
  
  es llegeix (per primera vegada) en un moment en què m = 0 i s = 1 és equivalent a
  
  El tauler es veu tota l'estona amb aquest centre, encara que manualment canviem l'amplada de la finestra. Recordeu, doncs: el tauler es defineix d'una vegada per totes i no es pot actualitzar.
  
  
• La construcció de la llista dels segments que acoloreixen l'àrea que ens dóna la probabilitat de l'interval [xm, xn] es fa així:
  
  • Si es volgués que l'àrea quedés completament acolorida, es podria substituir el 0,05 per un nombre més petit, per exmeple, 0,01, però llavors costaria froça actualitzar el dibuix. Proveu-ho i considereu si us sembla un valor afegit.
  • S'afegeix el segment que tanca per la part dreta, perquè si no es fes així, potser el salt de 0,05 faria que no es passés exactament per xn i llavors l'efecte visual no seria correcte.
    
    

• Potser us heu adonat que quan s'executa la finestra de la Wiris que inclou aquesta activitat, surt un missatge d'avís (indicat per un requadre verd). Per què?

  Quan una pantalla de la Wiris s'ha gravat sense la barra d'eines (com és el cas), tampoc mostra la finestra d'errors. Però amb el botó dret del ratolí, podeu recuperar-les en posició flotant. Si ho feu, llegireu de què us vol avisar el programa:

  

  Efectivament, els valors de la probabilitat d'un interval segons la distribució normal de probabilitat s'han de fer per integració numèrica!
  
  És, justament, la integral  la que ens dóna aquesta probabilitat.

• Ben segur que entendreu tot allò que no es comenta. Si no fos així, ja sabeu que podeu preguntar-ho!